线性代数示例

${(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.5

计算指数。

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.5

计算指数。

$\frac{3}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.8

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.9

将 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.10

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11

合并和化简分母。

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解题步骤 1.11.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.11.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.11.6.5

计算指数。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简分子。

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解题步骤 1.12.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.12.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.13

对 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.14.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} + \frac{6^{1}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.14.5

计算指数。

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3} + \frac{6}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.16

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.16.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{3 (2)}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.16.2

约去公因数。

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解题步骤 1.16.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.16.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.16.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.17

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 2 + 1}{3}$

解题步骤 2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 + 1}{3}$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{3}$

小数形式：

$1.\overline{3}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{3}$

线性代数 示例

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